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Pensando en la enseñanza...

Matemática. Preguntas y respuestas

En los encuentros de presentación de los Pre Diseños Curriculares y en las jornadas institucionales de los últimos años hemos podido relevar algunas preguntas de los maestros que aparecen con frecuencia en las diferentes escuelas. Ofrecemos aquí algunas líneas para pensar sobre dichos interrogantes. Se incluyen párrafos del Pre Diseño Curricular o de Documentos curriculares y bibliografía recomendada para profundizar en el tema.

1) ¿Con qué finalidad se propone actualmente usar la calculadora en el aula?

Es indiscutible que las calculadoras forman parte del ambiente diario de un niño de la Ciudad, que observa a los adultos recurrir a ellas incluso con mucha mayor frecuencia que al cálculo con papel y lápiz. El desarrollo y el creciente acceso a medios tecnológicos de cálculo han de ser considerados al repensar las finalidades de la enseñanza de matemática: la importancia otorgada a las habilidades de cálculo en la primera mitad del siglo XX ha sido sustituida por la importancia otorgada a ser capaz de pensar problemas complejos, de elegir los recursos más pertinentes para tratarlos y de tener control sobre los mismos.

Sin duda, un cierto dominio autónomo de técnicas de cálculo y de repertorios básicos son necesarios, tanto porque intervienen en la construcción del sentido de las operaciones, como porque suponen el establecimiento de un conjunto de relaciones que constituyen puntos de apoyo para la elaboración de otros conocimientos.

Aprender a dominar diferentes estrategias de cálculo implica que los alumnos aprendan a decidir para qué cálculos es más conveniente usar la calculadora y para cuáles es más conveniente un cálculo mental (como en el caso de los cálculos con números "redondos"). También es importante establecer los límites de utilización de cada estrategia, técnica o instrumento. Por ejemplo, frente a un problema en el que es necesario averiguar el resto de una división entera, reconocer que la calculadora no brinda esta información directamente en la pantalla.

Al mismo tiempo, se deben realizar actividades tendientes a favorecer tanto una actitud de control sobre la herramienta como la elaboración de conocimientos que permitan hacer efectivo el control. Una de las vías de control está dada por la instalación de una práctica: estimar mentalmente los resultados antes de su realización efectiva. Otra vía de control sobre esta herramienta pasa por explorarla para conocer sus posibilidades (por ejemplo, la función memoria) y también conocer sus restricciones (trunca resultados de cálculos, opera por orden de escritura de las operaciones sin tener en cuenta la separación en términos, no permite obtener el resto de una división con Naturales, etcétera).

Estamos proponiendo que los alumnos aprendan a usar una modalidad de cálculo como control de otra. Así como la estimación permite controlar la calculadora, ésta puede convertirse en una herramienta de control y verificación de resultados obtenidos, por ejemplo, con técnicas de papel y lápiz, lo cual otorga a los alumnos autonomía en la corrección, permitiendo centrar los momentos colectivos de trabajo y las discusiones en aspectos que realmente merezcan tal inversión.

La incorporación de la calculadora a la escuela es un medio para plantear problemas (estableciendo un conjunto de condiciones) y una herramienta para explorar relaciones matemáticas. Por ejemplo:

1. Primer ciclo. Sistema de Numeración: Tengo que escribir en la calculadora el número 438, pero no funciona la tecla del 4. ¿Cómo puedo hacer? Este problema permite un análisis del valor posicional, el reconocimiento de que el 4 "vale 400". Su resolución admite varias soluciones a partir de diferentes descomposiciones aditivas: 200 + 238; 100 + 100+ 100 + 100 + 38, etcétera.
2. Primer ciclo. Propiedades de las operaciones: Quiero hacer 15 x 8 en la calculadora, pero sin querer hice 15 x 4. ¿Cómo puedo seguir sin borrar? Este problema pone en juego la idea de que multiplicar por 8 es equivalente a multiplicar por 4 y por 2. El recurso de la calculadora permite a los niños explorar estas relaciones para estos y otros números como también para otras operaciones.
3. Segundo ciclo. Propiedades de la división: Usando la calculadora, encontrar números que, al dividirlos por 213, se obtenga resto 6. Como la calculadora no "informa" el resto de una división entre números naturales, este problema favorece que los alumnos tengan que poner en juego la relación entre el dividendo (D), el divisor (d), el cociente (c) y el resto (r) (c x d + r = D).
4. Segundo ciclo. Valor posicional en los números decimales: Obtener en la calculadora 3,25 sin usar el 5. Este problema exige a los alumnos analizar que el 5 representa 0,05 y, por lo tanto, puede formarse a partir del 0,02 y 0,03, o bien del 0,04 y 0,01, etcétera.

Otra función importante que puede cumplir la calculadora en las aulas es para resolver los cálculos de los problemas más complejos. Esta herramienta puede favorecer que los alumnos se centren en el análisis de las situaciones, en los datos presentados o en el tipo de preguntas que se formulan "descargando" una parte de la tarea. "Despreocuparse de las cuentas" permite a los niños controlar la pertinencia de las decisiones que toman al intentar resolver problemas de más datos, que exigen una cantidad mayor de operaciones, o que involucran números mayores de los que utilizan habitualmente.

Ambas modalidades se inscriben en el sentido global de la enseñanza, tantas veces señalado, que consiste en formar sujetos dispuestos a enfrentar problemas, a ensayar y revisar soluciones, a usar los recursos de los que disponen y también a construir nuevos asumiendo el problema del control sobre los mismos como un problema de conocimiento.

Sugerencias bibliográficas sobre la enseñanza de estrategias de cálculo

• Broitman, C. Las operaciones en el primer ciclo, Buenos Aires, Novedades Educativas, 1999.
• Carraher, T.; D. Carraher y A. Schliemann. En la vida diez, en la escuela cero, México, Siglo XXI, 1991.
• Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación y Cultura, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currículum, Matemática, Los niños, los maestros y los números. Desarrollo Curricular. 1ro y 2do grado, 1992.
• Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currículum, Matemática, Documento de trabajo Número 4. Actualización Curricular, 1997.
• Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, Pre Diseño Curricular para la Educación General Básica (Educación Primaria y Media según denominación vigente). Marco General. Primer Ciclo. Segundo Ciclo (tomos 1 y 2). 1999.
• Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, Acerca de los números decimales. Una secuencia posible, Serie Aportes para el desarrollo curricular, 2001.
• Dirección General de Educación Básica. Orientaciones didácticas para el uso de la calculadora en los tres ciclos de la EGB, Provincia de Buenos Aires, 2001.
• Dirección General de Educación Básica. Orientaciones didácticas para la enseñanza de la multiplicación en los tres ciclos de la EGB, Provincia de Buenos Aires, 2001.
• Dirección General de Educación Básica. Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la EGB, Provincia de Buenos Aires, 2001.
• Ferreiro, E. "El cálculo escolar y el cálculo con dinero en situación inflacionaria", en Proceso de alfabetización. La alfabetización en proceso, Buenos Aires, 1986.
• Lerner, D.; P. Sadovsky y S. Wolman. "El sistema de numeración: un problema didáctico", en C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica de la Matemática, Buenos Aires, Paidós, 1994.
• Parra, C. "Cálculo mental en la escuela primaria", en C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica de la Matemática, Buenos Aires, Paidós, 1994.
• Wolman, S y M. E. Quaranta. "Procedimientos numéricos de resolución de problemas aditivos y multiplicativos: relaciones entre aspectos psicológicos y didácticos", en Revista del Instituto de Investigaciones en Ciencias de la Educación. Año 8, Nº16, Buenos Aires, 2000.

2) ¿Cuál es el lugar que ocupa el material concreto en la enseñanza de las operaciones en primer grado?

Una cuestión que ha dado lugar a muchas discusiones en distintos momentos de la enseñanza de la matemática se refiere al lugar que ocupa -sobre todo en los primeros grados- la utilización de material concreto para producir resultados o para comprobarlos. Hay distintas maneras de recurrir al uso de este tipo de materiales.

Una práctica habitual, en los años ' 60 ó ' 70 fue proponer a los alumnos que resolvieran en primer grado los problemas por medio de chapitas, palitos, botones, etc. El docente proponía el problema, invitaba a los alumnos a utilizar el material que traían, y recién luego dicho cálculo se representaba gráficamente y simbólicamente. ¿Qué problemas trae esta propuesta?

En primer lugar, cuando es el docente quien propone el uso del material concreto como medio de solución a un problema, está impidiendo que sea el alumno quién decida el procedimiento a utilizar. Seguramente, para muchos niños, no era necesario recurrir al conteo para resolver dicho cálculo. O podían hacer conteo con marcas en una hoja, con los dedos, sobreconteo, etcétera.

En segundo lugar, la actividad propuesta a los niños, cuando la exigencia del material concreto es planteada por el docente, olvida las principales características de la actividad matemática: es una actividad intelectual y no empírica. Y una de sus propiedades fundamentales es la anticipación. Veamos qué significa esto con otra situación.

Supongamos que, también en primer grado, el docente pone a la vista de todos los niños: primero 7 chapitas en una caja; después, también a la vista de todos, 8 chapitas. Se les pide a los niños que encuentren una manera de saber cuántas chapitas hay en la caja "sin abrirla". Utilizando diversas estrategias los niños arribarán a un resultado. Algunos realizarán un dibujo de las chapitas, otros harán palitos y conteo, otros recurrirán a los dedos, otros efectuarán cálculos. El docente propone discutir los resultados y comunicar los procedimientos. Luego de esta discusión, se les propone que cuenten las chapitas de la caja. Si antes de verificar el resultado deben anticiparlo, y recién entonces lo comprueban contando los objetos, el material concreto no impidió que hubiera actividad matemática por parte de los niños. En este juego de anticipación - validación - comprobación los niños irán descubriendo que los resultados que obtienen son una consecuencia necesaria de haber puesto en funcionamiento ciertas herramientas matemáticas. Sin esta anticipación la actividad de los niños es exclusivamente manipulativa y los resultados que obtienen son producto de una contingencia (se obtuvieron éstos, pero podrían haberse obtenido otros).

Sin duda, la posibilidad de anticipación se vincula con la posibilidad de realizar cálculos y es un propósito importante de la enseñanza en primer grado que los alumnos pasen progresivamente de procedimientos de tipo conteo a procedimientos de tipo cálculo. ¿Cómo favorecer en los alumnos el pasaje de un tipo de procedimiento a otro? Se trata de proponerles problemas en los que haya que calcular aun cuando no dispongan de una solución experta. A través de la resolución de diferentes problemas, la confrontación de diversas soluciones, la puesta a prueba de los procedimientos con números más grandes, los alumnos podrán empezar a apropiarse de procedimientos vinculados al cálculo.

Esta transición no se hace de manera lineal, ni al mismo tiempo para todos los niños, ni de un modo definitivo para el mismo niño. La tarea consiste en ayudar a los alumnos a incorporar procedimientos vinculados a la posibilidad de operar con los números, como también de disponer de resultados.

Se trata de brindar a los alumnos oportunidad para:

• tomar conciencia de que los números permiten prever el resultado de una acción sin realizarla;
• desarrollar y mejorar los procedimientos mentales asociados a esta toma de conciencia;
• emplear diversos soportes simbólicos, recurrir a las escrituras aditivas o, más precisamente, comprender la ligazón entre la reunión de varias colecciones y las escrituras que codifican esta reunión;
• pasar progresivamente de procedimientos de tipo conteo a procedimientos de tipo cálculo y percibir el interés de disponer de resultados memorizados.

Por ello proponemos que sean los niños quienes elijan los procedimientos de resolución. El material concreto no es entonces, desde esta perspectiva didáctica, un medio propuesto por el docente. Incluso, el trabajo colectivo se centrará en cómo producir avances en los procedimientos de los niños, de tal modo que puedan abandonar los procedimientos de conteo e iniciarse en los procedimientos de cálculo.

Evidentemente, para ello, será necesario trabajar simultáneamente con la construcción de un repertorio de cálculos que puedan utilizarse en variados problemas, por ejemplo, 2 + 2, 3 + 3, 4 + 4, etc., o bien 10 + 10, 20 + 10, y luego 20 + 3, 30 + 2, etc. La creciente utilización de este repertorio permitirá a los niños ir abandonando progresivamente los procedimientos de conteo e iniciarse en el cálculo, una de las herramientas matemáticas que posibilitan la anticipación de acciones sin necesidad de que sean realizadas empíricamente.

¿Y con respecto al uso del material estructurado?

Muchas de las prácticas escolares vinculadas con el tratamiento de los números y las operaciones en los primeros años de escolaridad se apoyan en la idea de agrupamientos recursivos como punto de partida para la enseñanza de la organización posicional. Incluso, en algunos casos, se ha llegado a plantear agrupamientos que implican el trabajo en distintas bases.

Con tal objetivo, han aparecido en las aulas diferentes materiales que intentan poner de manifiesto dichos agrupamientos: ábacos, regletas, tiritas con puntitos, etc. bajo el supuesto de que permitirían a los alumnos identificar la estructura del sistema de numeración, y como objeto matemático prioritario, la idea de unidad, decena y centena. Analizar los números en términos de unidades y decenas, 56 = 5 d y 6 u, implica considerar 5 x 10 + 6, aun cuando esta escritura no se presente. La idea de agrupamiento involucra indefectiblemente los conceptos de multiplicación y también de división. Frente a la pregunta de cuántas decenas hay en 56, responder 5 implica reconocer que 56 dividido 10 es 5 y sobran 6. O bien, anticipar que 5 x 10 es 50, con lo cual hay 5 decenas. Para "desmenuzar" el concepto de decena hay que dominar operaciones y relaciones numéricas que evidentemente no tienen disponibles los niños de primer grado.

Muchas veces se cae en la ilusión de suponer que un niño reconoce las decenas cuando responde que el número 87 tiene 8 decenas o cuando realiza un ejercicio de descomposición. ¿Reconoce la presencia de las 8 decenas o reconoce el número 8, que, por la posición en la cual se encuentra, el docente las llama decenas? Hoy sabemos que muchos de los ejercicios propuestos por la escuela en relación con las unidades y decenas son resueltos por los niños en forma mecánica, pero que no comprenden la complejidad que subyace a dichas descomposiciones.

Hay una contradicción entre el tipo de análisis propuesto en primer grado para los números y la progresión en la en-señanza de las operaciones, que reconoce a segundo grado como el momento adecuado para iniciar el aprendizaje de la multiplicación.

El trabajo con el material estructurado ha sido incorporado como un medio para enseñar los aspectos estructurales del sistema de numeración, dado el reconocimiento de su dificultad. Planteamos entonces que, en lugar de buscar un medio material que intente mostrar las relaciones "ocultas" en los números, relaciones no posibles de ser "vistas" todavía por los niños, el estudio del agrupamiento recursivo no sea la vía inicial de estudio de los números.

Se propone otra manera de abordar los números que en lugar de apuntar de entrada a la noción de agrupamiento y a la descomposición en unidades, decenas y centenas, propicia otras relaciones aritméticas a propósito de las escrituras numéricas. Cuando los niños ingresan a la escuela, disponen de un bagaje de saberes que involucran las escrituras de números, un cierto orden al recitarlos, criterios para establecer comparaciones, etc. Es decir que no precisan comprender qué es una decena para leer, escribir, comparar y operar con números mayores que 10. El trabajo sobre el sistema de numeración propuesto en el Pre Diseño Curricular busca que los niños exploren regularidades, establezcan propiedades etc. que les permitirán realizar anticipaciones. Para que los niños puedan explorar, apropiarse y utilizar la serie numérica, es necesario ponerlos en contacto con una porción suficientemente grande de números que permita que identifiquen las regularidades y que las usen para nombrar, leer, escribir y comparar números.

Así, los alumnos pueden saber que entre 30 y 40 todos los números se escriben con un 3 adelante, aunque no sean capaces de dar a 3 el significado de 3 grupos de 10. En primer grado es justamente la descomposición aditiva de los números la que va a constituir un foco de trabajo. Se busca que los alumnos piensen el 34 como 30 + 4 y también como 10 + 10 + 10 + 4. Y es centralmente con apoyo en la descomposición aditiva como van a enfrentar la suma y la resta.

Ahora bien, cuando la intención sea el estudio de los aspectos multiplicativos de los números, el Pre Diseño Curricular propone que en lugar de que este trabajo se realice con materiales artificiales, sea la resolución de problemas y la reflexión sobre las escrituras numéricas el medio de abordar esas nuevas relaciones.

A fines de primer grado, pero centralmente en segundo y tercero, los niños pueden empezar a explorar la relación entre la descomposición aditiva y la descom-posición multiplicativa de los números. Algunos problemas que permiten iniciar a los niños en el estudio del valor posicional de los números son los siguientes:

Si en la calculadora está escrito el número 438 y quiero que aparezca el 408, ¿cuánto le tengo que restar?

• Un señor quiere pagar $ 456 y tiene sólo billetes de $ 10, ¿cuántos necesita?
• Se quieren empaquetar 345 tarjetas en sobres de a 10 y paquetes de a 100. ¿Cuántos paquetes y sobres se pueden armar?
• Si tengo 3 billetes de $ 100, 5 billetes de $10 y 4 monedas de $1, ¿cuánto dinero tengo?
• Un video club tiene 123 películas y todas las semanas comprará 10 más. ¿Cuántas películas tendrá en las próximas cinco semanas? ¿Y si compra 100 por semana?

Las actividades vinculadas al manejo de dinero ofrecen un soporte especialmente propicio para establecer las relaciones antes mencionadas: por una parte, su organización decimal permite relacionar las descomposiciones aditivas con las multiplicativas vinculando ambas con la posicionalidad; por otra parte, el uso social del dinero lo transforma en un objeto familiar con el que la mayoría de los niños ha tenido algún grado de interacción. Se busca iniciar el análisis del valor posicional en un contexto significativo: diferenciar las cifras según su posición en la escritura de un número, asociándoles una cierta cantidad de billetes. Luego es necesario que esas relaciones se independicen del contexto del dinero y puedan transferirse a situaciones análogas en las que no se cuenta con la presencia de un soporte tan familiar.

Planteamos que el estudio del sistema de numeración puede ser abordado -del mismo modo que otros objetos matemáticos- a partir de la resolución de problemas y la reflexión sobre los mismos. Los conocimientos numéricos construidos de esta forma estarán cargados de sentido para los alumnos y les serán fértiles para resolver nuevos problemas. Para aprender los números, será necesario usarlos, resolver problemas e investigar sobre su funcionamiento. Las propiedades que los niños deben elaborar no están en los materiales, sino que son producto de las relaciones que ellos podrán ir estableciendo.

Bibliografía sobre la enseñanza de los números y las operaciones

• Alvarado, M. y E. Ferreiro. "El análisis de nombres de números de dos dígitos en niños de 4 y 5 años", en Lectura y Vida. Revista Latinoamericana de Lectura, año 21, marzo 2000, nº1.
• Bartolomé, O.; D. Fregona. "El conteo en un problema de distribución: una génesis posible en la enseñanza de los números naturales", en M. Panizza (comp.), Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y Primer Ciclo de EGB, Análisis y propuestas (en preparación), Buenos Aires, Paidós, 2002.
• Brizuela, B. Algunas ideas sobre el sistema de numeración escrito en niños pequeños; en N. Elichiry (comp.), Aprendizaje de niños y maestros. Hacia la construcción del sujeto educativo, Buenos Aires, Manantial, 2000.
• Carraher, T.; D. Carraher; y A. Schliemann. En la vida diez, en la escuela cero, México, Siglo XXI, 1991.
• Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación y Cultura, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currículum, Matemática, Los niños, los maestros y los números. Desarrollo Curricular. 1ro y 2do grado, 1992.
• Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, Pre Diseño Curricular para la Educación General Básica (Educación Primaria y Media según denominación vigente). Marco General. Primer Ciclo. Segundo Ciclo (tomos 1 y 2). 1999.
• Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, Acerca de los números decimales. Una secuencia posible, Serie Aportes para el desarrollo curricular, 2001.
• Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, Diseño Curricular para la Educación Inicial, Matemática, 2000.
• Dirección General de Educación Básica. "Orientaciones Didácticas para la Enseñanza de los Números en el primer ciclo de la EGB", Provincia de Buenos Aires, 2001.
• Ferreiro, E. (1986): El cálculo escolar y el cálculo con dinero en situación inflacionaria, en Proceso de alfabetización. La alfabetización en proceso, Buenos Aires, 1986.
• Lerner, D., La matemática en la escuela aquí y ahora, Buenos Aires, Aique, 1992.
• Lerner, D.; P. Sadovsky y S. Wolman, "El sistema de numeración: un problema didáctico", en C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica de la Matemática, Buenos Aires, Paidós, 1994.
• Moreno, B. "La enseñanza del número y del sistema de numeración en el nivel inicial y primer año de la EGB" en Panizza, M. (comp.), Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y Primer Ciclo de EGB, Análisis y propuestas (en preparación), Buenos Aires, Paidós. 2002.
• Scheuer, N., A. Bressan, S. Rivas, "Los conocimientos numéricos en niños que inician su escolaridad", en E. Ilichiry (comp..), Dónde y cómo se aprende. Temas de Psicología Educacional, Buenos Aires, Paidós, 2001.
• Scheuer, N., A. Bressan, C. Bottazzi y T. Canelo. "Este es más grande porque... o cómo los niños comparan numerales", en Revista Argentina de Educación Nº 24, 10/96.
• Wolman, S. "La enseñanza de los números en el Nivel Inicial y en el primer año de la EGB", en Letras y Números, Buenos Aires, Ed. Santillana, 2001.

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